Dans un triangle rectangle plan, le carré de la longueur de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'Antiquité est un fait dont on peut trouver trace dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize nœuds dont se servaient les arpenteurs égyptiens . Cette corde permettait de mesurer des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13 nœuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un outil de géomètre pendant encore tout le Moyen Âge.
La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne). On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes (tablette de Plimpton 322 vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.

La première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante : « Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. » (Livre I, proposition XLVII). Avec sa réciproque : « Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit. » (Livre I, proposition XLVIII)

Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d'Euclide (environ 400 ap. J.-C.) semblent indiquer qu'Euclide n'aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore. C'est donc entre le VIe et le IIIe siècle av. J.-C. que l'on peut dater la démonstration de cette propriété. On raconte que c'est à cette occasion qu'aurait été découverte l'existence de nombre irrationnel. En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l'hypoténuse vaudrait 2. Or une démonstration simple accessible du temps de Pythagore prouve qu'aucun rationnel n'a un carré égal à 2. On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l'école pythagoricienne sous peine de mort.

Parallèlement à ces découvertes, il semble qu'en Chine aussi la propriété soit connue. On retrouve trace de l'existence de ce théorème dans un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois le Zhoubi suanjing. Cet ouvrage, écrit probablement durant la dynastie Han (206 av. J.-C. - 220 ap. J.-C.), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. - 256 av. J.-C.). Une démonstration du théorème, qui porte en Chine le nom de théorème de Gougu (base et altitude), figure dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, 100 av. J.-C. - 50 ap. J.-C.), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui prouve l'originalité de la démarche chinoise.

(Extrait de Wikipédia)